wtorek, 19 lipca 2016

Udowadnianie nieistnienia (I)


„Nie można udowodnić nieistnienia. To logika.” – napisał jeden z komentujących pod ostatnim wpisie o Dawkinsie. Za każdym razem, kiedy to słyszę, zastanawiam się: jak coś tak pomylonego mogło się aż tak rozpowszechnić? Żeby się przekonać, że to bzdura nie trzeba wiedzieć niczego o epistemologii, ontologii czy logice – wystarczy kilka zdroworozsądkowych przykładów pokazujących, że często udowadnianie nieistnienia polega na tym samym, co udowadnianie istnienia.
Można udowodnić, że istnieje liczba pierwsza większa od 79 i mniejsza od 87, ale nie można już udowodnić, że nie istnieje liczba pierwsza większa od 89 i mniejsza od 97? Można udowodnić, że istnieje piłkarz Cracovii z senegalskim obywatelstwem, ale nie można udowodnić, że nie istnieje piłkarz Cracovii z norweskim obywatelstwem? Można udowodnić, że istnieje banknot stuzłotowy, ale nie można udowodnić, że nie istnieje banknot trzystuzłotowy? Naprawdę?
Funkcjonuje też trochę inna wersja tej zasady, jeszcze powszechniejsza i chyba jeszcze bardziej absurdalna: „Nie można udowodnić twierdzenia negatywnego” („You can't prove a negative”). Obie wersje namiętnie propagują gwiazdy środowiska ateistyczno-sceptyczno-racjonalistycznego:
Dawkins („OK, nie można udowodnić twierdzenia negatywnego – co z tego? Istnieje nieskończona liczba twierdzeń negatywnych, których nie można udowodnić i nie ma sensu próbować”), Michael Shermer („Mocny ateizm to twierdzenie, że Bóg nie istnieje, co nie jest rozsądnym stanowiskiem – nie da się udowodnić twierdzenia negatywnego”) czy James Randi („Nie można wymagać, żebym udwodnił twierdzenie negatywne – nie jestem w stanie tego zrobić. Nie mogę udowodnić, że telepatia nie istnieje”). A po nich powtarzają to ich niezliczeni akolici, często dodając coś o „elementarnej logice” albo „podstawowych prawach rozumowania”.
Próbowałem znaleźć źródło mitu i najdalej dotarłem do Ayn Rand, mojej ulubionej szarlatan (szarlatanki?) filozoficznej („Nigdy nie można wymagać dowodu twierdzenia negatywnego. To prawo logiki”). Mamy więc „prawo logiki”, o którego istnieniu zapewniają nas Ayn Rand i nastoletni ateiści z youtube'a, ale o którym nie słyszeli logicy.
Nie słyszeli, bo wiedzą, że, po pierwsze, w klasycznej logice każde twierdzenie pozytywne jest jednocześnie twierdzeniem negatywnym (p ≡ ¬¬p). Czyli jeśli nie da się udowodnić twierdzenia negatywnego, to pozytywnego też się nie da. Po drugie, każdą negację kwantyfikatora egzystencjalnego można zastąpić kwantyfikatorem ogólnym (¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)). Czyli jeśli nie da się udowodnić, że coś nie istnieje, to nie da się też udowodnić jakiegokolwiek twierdzenia uniwersalnego. Po trzecie, nasze logiczno-epistemologiczne pseudoprawo w obu wersjach w dość oczywisty sposób podkopuje samo siebie: jeśli nie można udowodnić twierdzenia negatywnego, to twierdzenia „nie można udowodnić twierdzenia negatywnego” nie można udowodnić. Jeśli nie istnieje możliwość udowodnienia, że coś nie istnieje, to twierdzenia „Nie istnieje możliwość udowodnienia, że coś nie istnieje” nie da się udowodnić. A skoro nie można, to dlaczego właściwie mamy je uważać za prawdziwe?
Nie tłumaczyłbym jednak całego tego nieporozumienia wyłącznie intelektualną kondycją postaci w rodzaju Dawkinsa czy Ayn Rand. Wydaje mi się, że nałożyły się tu na siebie co najmniej cztery kwestie: zasada domniemania niewinności, problem indukcji, filozoficzne twierdzenia o asymetrii między pozytywnym a negatywnym i w końcu nieszczęsny czajniczek Russella, ale o tym więcej dopiero w następnej części. 

24 komentarze:

  1. Zostawmy matematykę. IRL da się udowodnić negację, ale tylko ze wskazaniem czasu i miejsca ("w tym domu nie ma teraz trupa ciotki Hermenegildy"), a i to wyłącznie pośrednio, ponieważ nie istnieje we wszechświecie taki obiekt jak "brak trupa ciotki Hermenegildy". Trzeba wyliczyć wszystkie obiekty w domu i porównać z "wzorcem" (wyobrażeniem trupa ciotki H.). Jeśli dla wszystkich n obiektów stwierdzimy "nieprawda, że to jest trup ciotki H.", możemy przyjąć, że trupa ciotki H. w domu nie ma.
    Udowodnić nieistnienie trupa ciotki "tak w ogóle" dałoby się tylko wtedy, gdyby ciotka była obiektem niemożliwym logicznie albo wykluczonym przez prawa przyrody.
    Natomiast wskazanie palcem trupa ciotki Hemenegildy leżącego w schowku na miotły dowodzi jej istnienia "tu i teraz", ale tym samym jego istnienia "tak w ogóle", tzn. wszechświat zawiera co najmniej jednego trupa ciotki H.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Doskonale to ująłeś!

      Można też dodać, że Autor/ka Bloga wydaje się nie rozróżniać „dowodu” w sensie ścisłym, /ordine geometrico/, i „dowodu” w sensie praktycznym, w zn. ‘przekonującego argumentu’, ‘argumentu, na podstawie którego podejmę decyzję, np. postawię pieniądzę na tę odpowiedź, a nie na inną’.

      Zabawne, że tę niemożność praktyczną ścisłego dowodu nieistnienia arbitralnego przedmiotu fizycznego (poza zdefiniowanymi w sposób wewnętrznie sprzeczny) sam/a Autor/ka Bloga podaje:

      ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

      – o czym piszesz Ty, Gammon No.82, a o czym w ogólności mówi się jako o konieczności przejrzenia takiego zbioru obiektów (Universum), który jest poza naszymi możliwościami.

      Usuń
    2. Można też dodać, że Autor/ka Bloga wydaje się nie rozróżniać „dowodu” w sensie ścisłym, /ordine geometrico/, i „dowodu” w sensie praktycznym

      Skąd ten wniosek? Przez "udowodnić" rozumiem "uzasadnić prawdziwość", w jakikolwiek sposób. Wydawało mi się, że wynika to jasno z kontekstu.

      Zabawne, że tę niemożność praktyczną ścisłego dowodu nieistnienia arbitralnego przedmiotu fizycznego (poza zdefiniowanymi w sposób wewnętrznie sprzeczny) sam/a Autor/ka Bloga podaje: ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

      Z całą pewnością nie ma to nic wspólnego z "niemożnością praktyczna ścisłego dowodu nieistnienia arbitralnego przedmiotu fizycznego". Prawa logiki w ogóle nic nie mówią o możliwości uzasadniania istnienia lub nieistnienia obiektów fizycznych. Ani to prawo logiki nic o tym nie mówi, ani żadne inne.

      Usuń
  2. P.s. prawdopodobnie cytowani autorzy mają na myśli niemożność w senie praktycznym. ("Nie można WYMAGAĆ, żebym udwodnił twierdzenie negatywne – NIE JESTEM W STANIE tego zrobić. NIE MOGĘ UDOWODNIĆ, że telepatia nie istnieje.")
    Z praktycznego punktu widzenia tak właśnie jest i dlatego przyjmuje się koncepcję ciężaru dowodu.
    Nie mogę - w sensie praktycznym - dowieść, że jedzenie kulek od łożysk NIE leczy (ani przyczynowo, ani objawowo, ani paliatywnie) raka trzustki. Tym bardziej nie mogę udowodnić, że jedzenie kulek od łożysk NIE jest skuteczne w jakiejkolwiek chorobie (włączając w to choroby ludzkie, zwierzęce, roślinne, choroby o których jeszcze nie wiemy, że istnieją, choroby które jeszcze nie pojawiły się na świecie względnie te, na które cierpią organizmy pozaziemskie). Jeśli ktoś twierdzi, że jest skuteczne, to żądamy: karty na stół.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. IRL da się udowodnić negację, ale tylko ze wskazaniem czasu i miejsca

      Negacje mogą dotyczyć rzeczy, które w ogóle nie istnieją w czasoprzestrzeni: abstrakcji, relacji, własności, liczb... I te negacje też można udowadniać.

      Udowodnić nieistnienie trupa ciotki "tak w ogóle" dałoby się tylko wtedy, gdyby ciotka była obiektem niemożliwym logicznie albo wykluczonym przez prawa przyrody.

      Na pewno jest więcej możliwości: można np. wyobrazić sobie sytuację, w której możliwa jest bezpośrednia obserwacja wszystkich miejsc, w których, wg praw natury, x może wystąpić – i stwierdzić, że nie występuje.

      prawdopodobnie cytowani autorzy mają na myśli niemożność w senie praktycznym

      Jakiej niemożności by nie mieli na myśli – pieprzą głupoty. W sensie praktycznym mogę np. udowodnić, że nie istnieje piłkarz Cracovii z norweskim obywatelstwem.

      Nie mogę - w sensie praktycznym - dowieść, że jedzenie kulek od łożysk NIE leczy (ani przyczynowo, ani objawowo, ani paliatywnie) raka trzustki.

      Dowodzenie, że jakaś metoda jest skuteczna w leczeniu choroby polega dokładnie na tym samym, co dowodzenie, że jakaś metoda jest nieskuteczna w leczeniu choroby. Przeprowadza się odpowiedni eksperyment. Więc oczywiście w teorii można przeprowadzić eksperyment pokazujący, że kulki łożyskowe nie leczą raka trzustki. Nie mówiąc już o tym, że to, co bez eksperymentu wiemy o metalowych kulkach, przewodach pokarmowych i nowotworach może, jeśli nie dowieść, to na pewno mocno obniżyć prawdopodobieństwo skuteczności metody.

      Usuń
    2. Negacje mogą dotyczyć rzeczy, które w ogóle nie istnieją w czasoprzestrzeni: abstrakcji, relacji, własności, liczb... I te negacje też można udowadniać.

      Dlatego zastrzegłem, że mam na myśli dowodzenie nieistnienia czegoś IRL, a nie jakiekolwiek dowodzenie negacji.

      Na pewno jest więcej możliwości: można np. wyobrazić sobie sytuację, w której możliwa jest bezpośrednia obserwacja wszystkich miejsc, w których, wg praw natury, x może wystąpić – i stwierdzić, że nie występuje.

      Że wyobrazić sobie można to zgoda, ale w tej chwili nie potrafię podać rzeczywistego przypadku.

      Jakiej niemożności by nie mieli na myśli – pieprzą głupoty. W sensie praktycznym mogę np. udowodnić, że nie istnieje piłkarz Cracovii z norweskim obywatelstwem.

      I to samo dotyczy dowodu nieistnienia we wszechświecie złotego obiektu o masie 3 milionów ton?

      Dowodzenie, że jakaś metoda jest skuteczna w leczeniu choroby polega dokładnie na tym samym, co dowodzenie, że jakaś metoda jest nieskuteczna w leczeniu choroby. Przeprowadza się odpowiedni eksperyment.

      Ale zademonstrowanie jednej działającej maszyny parowej, jednego działającego lasera, jednego skutecznego założenia szwu naczyniowego już dowodzi, że pewna koncepcja techniczna ma sens. Natomiast zademonstrowanie stu uczestników RCT, którym stalowe kulki NIE pomogły na raka trzustki samo w sobie pokazuje jedynie, że IM nie pomogły. Z jakichś względów przyjmujemy jednak, że jest to rozstrzygający dowód negatywny, dowód na nieskuteczność "metody leczenia kulkami w ogólności".

      Więc oczywiście w teorii można przeprowadzić eksperyment pokazujący, że kulki łożyskowe nie leczą raka trzustki.

      Z drugiej strony zademonstrowanie stu tysięcy niedziałających laserów nie będzie dowodem na niemożliwość istnienia działającego lasera.

      Nie mówiąc już o tym, że to, co bez eksperymentu wiemy o metalowych kulkach, przewodach pokarmowych i nowotworach może, jeśli nie dowieść, to na pewno mocno obniżyć prawdopodobieństwo skuteczności metody.

      Zgoda, ale właśnie tylko obniżyć, nie wykluczyć. Bardzo wiele realnie skutecznych metod w medycynie przyjęto nie znając mechanizmu ich działania i wypróbowując je na podstawie błędnych czy wręcz idiotycznych przesłanek.

      Usuń
    3. Dlatego zastrzegłem, że mam na myśli dowodzenie nieistnienia czegoś IRL, a nie jakiekolwiek dowodzenie negacji.

      Chcesz powiedzieć, że „realne życie” to tylko obiekty istniejące w czasoprzestrzeni? Czyli np. abstrakcja taka jak polityka zagraniczna Stanów Zjednoczonych, albo relacja taka jak powodowanie niechęci, to już nie jest realne życie? W takim razie nie ma pojęcia, co dla Ciebie znaczy „IRL”.


      I to samo dotyczy dowodu nieistnienia we wszechświecie złotego obiektu o masie 3 milionów ton?

      Nie rozumiem Cię. Twierdzisz, że zasada „nie da się udowodnic nieistnienia” jest w jakimś sensie prawdziwa – jeśli nie uniwersalnie, to w pewnym zakresie albo w pewnych okolicznościach („praktycznie”, „empirycznie”, „w realnym życiu”). Ja twierdzę, że to nonsens, także z Twoimi zastrzeżeniami.

      Nie chcę przecież powiedzieć, że nieistnienie czegokolwiek da się udowodnić. Oczywiście, że jest mnóstwo rzeczy, których nieistnienia nie da się dowieść – podobnie jak mnóstwo jest rzeczy, których istnienia nie da się dowieść (jak np. Twój złoty obiekt – ani się nie da pokazać, że istnieje, ani że nie istnieje).


      Natomiast zademonstrowanie stu uczestników RCT, którym stalowe kulki NIE pomogły na raka trzustki samo w sobie pokazuje jedynie, że IM nie pomogły. Z jakichś względów przyjmujemy jednak, że jest to rozstrzygający dowód negatywny, dowód na nieskuteczność "metody leczenia kulkami w ogólności".

      Mam wrażenie, że nie rozumiesz, na czym polega randomised controlled test. „Rozstrzygającym dowodem” nie będzie to, że sto chorych osób nie wydobrzało – ani tysiąc, ani dziesięć. Dowodem będzie to, że po losowym podziale badanych na grupę eksperymentalną i kontrolną, zbadaniu zmian i przeprowadzeniu analizy statystycznej, nie będzie statystycznie istotnej róznicy między grupami.

      I dokałdnie tak samo z dowodem na to, że jakaś metoda jest skuteczna, np. na to, że chlorochina leczy malarię. Rozstrzygająca będzie statystycznie istotna różnica między grupą chorych, którzy przyjmowali lek i grupą, która przymowała placebo.
      Jeden chory na malarię, który wydobrzał po chlorochinie, o niczym nie świadczy, tak samo jak o niczym nie świadczy jeden chory na raka, który wydobrzał po połykaniu kulek. Sto osób, którym chlorochina nie pomogła na malarię też o niczym nie świadczy, podobnie jak o niczym nie świadczy sto osób, którym kulki nie pomogły na raka.

      A jeśli chciałeś powiedzieć, że uparty zwolennik leczenia raka kulkami zawsze będzie mógł odrzucić brak istotnej różnicy w eksperymencie mówiąc „Być może kulki nie pomogły tym razem, ale tak w ogóle to pomagają” – tak samo uparty przeciwnik leczenia malarii chlorochiną zawsze będzie mógł powiedzieć „Być może tym razem pomogła, ale tak w ogóle to nie pomaga”. Więc nie ma żadnej asymetrii między udowadnianiem związku a udowadnianiem braku związku w Twoim przykładzie.

      Zgoda, ale właśnie tylko obniżyć, nie wykluczyć.

      Można się zastanawiać, czy poza matematyką cokolwiek da się na 100% wykluczyć. W naukach empirycznych wszystko jest raczej kwestią stopnia pewności.

      Usuń
    4. Chcesz powiedzieć, że „realne życie” to tylko obiekty istniejące w czasoprzestrzeni?

      Nie tylko obiekty; cechy tych obiektów, związki między nimi, zdarzenia.

      Czyli np. abstrakcja taka jak polityka zagraniczna Stanów Zjednoczonych

      Abstrakcja? Sądziłem, że to jest jakiś zbiór decyzji i działań różnych osób, niekoniecznie zresztą spójny.

      albo relacja taka jak powodowanie niechęci

      To się zdarza IRL.

      W takim razie nie ma pojęcia, co dla Ciebie znaczy „IRL”.

      Pewnie łatwiej byłoby mi powiedzieć, co nie jest IRL, a i to raczej tylko podać przykłady (bezwymiarowy punkt nie znajduje się IRL)., niż zdefiniować lub taksatywnie wyliczyć.

      Nie rozumiem Cię. Twierdzisz, że zasada „nie da się udowodnic nieistnienia” jest w jakimś sensie prawdziwa

      Twierdzę, że dla niektórych X konkluzywny dowód na "X nie występuje/nie zdarza się we wszechświecie" choć nie jest logicznie niemożliwy, jest tak praktycznie upierdliwy, że żądanie przeprowadzenia go jest irracjonalne lub złośliwe.

      Ja twierdzę, że to nonsens, także z Twoimi zastrzeżeniami.

      To dlaczego np. w orzecznictwie sądowym dowody negatywne uważa się za wysoce kłopotliwe?

      Oczywiście, że jest mnóstwo rzeczy, których nieistnienia nie da się dowieść – podobnie jak mnóstwo jest rzeczy, których istnienia nie da się dowieść (jak np. Twój złoty obiekt – ani się nie da pokazać, że istnieje, ani że nie istnieje).

      Sądziłem, że udowodnienie istnienia złotych np. planetoid jest technicznie możliwe, a tylko żadnej nie mamy w zasięgu obserwacji. Być może nie ma też żadnej poza tym zasięgiem.

      Mam wrażenie, że nie rozumiesz, na czym polega randomised controlled test.

      Nie mnie to oceniać, a to czy coś rozumiem, nie jest chyba ciekawe poznawczo ani warte dyskusji.

      Dowodem będzie to, że po losowym podziale badanych na grupę eksperymentalną i kontrolną, zbadaniu zmian i przeprowadzeniu analizy statystycznej, nie będzie statystycznie istotnej róznicy między grupami.

      Będzie to dowodem, bo uznajemy to za dostatecznie dobry dowód.

      Usuń
    5. C.d. (przepraszam, że się tak znów rozpisałem, postaram się przystopować)


      I dokałdnie tak samo z dowodem na to, że jakaś metoda jest skuteczna, np. na to, że chlorochina leczy malarię.

      No właśnie. Bo przyjęliśmy metodologię, zgodnie z którą brak dowodu skuteczności uważamy za dowód nieskuteczności (oczywiście pod warunkiem, że próbę przeprowadzenia dowodu podjęto). To ostatnie zastrzeżenie ma zresztą znaczenie tylko w nauce; z prawnego punktu widzenia nie obowiązuje, bo użycie metody nieprzetestowanej będzie uznane za postępowanie równie nieprawidłowe, co użycie metody o "dowiedzionej bezwartościowości".

      Rozstrzygająca będzie statystycznie istotna różnica między grupą chorych, którzy przyjmowali lek i grupą, która przymowała placebo.
      Jeden chory na malarię, który wydobrzał po chlorochinie, o niczym nie świadczy, tak samo jak o niczym nie świadczy jeden chory na raka, który wydobrzał po połykaniu kulek.


      Niekiedy świadczy (gdy wydobrzenie jednej osoby jest absolutnie niezgodne z tym, co działo się w historycznej grupie kontrolnej).

      A jeśli chciałeś powiedzieć, że uparty zwolennik leczenia raka kulkami zawsze będzie mógł odrzucić brak istotnej różnicy w eksperymencie mówiąc „Być może kulki nie pomogły tym razem, ale tak w ogóle to pomagają” – tak samo uparty przeciwnik leczenia malarii chlorochiną zawsze będzie mógł powiedzieć „Być może tym razem pomogła, ale tak w ogóle to nie pomaga”.

      Uparty zwolennik kulek może powiedzieć "wierzę, że leczenie kulkami jest skuteczne (względem placebo) w pewnym odsetku przypadków, ale niestety w RCT trafiła nam się taka pechowa fluktuacja" (hazardziesta powiedziałby "zła passa"). I ma o tyle rację, że taki zbieg okoliczności jest to bardzo-ale-to-bardzo nieprawdopodobne, ale nie niemożliwe.
      Natomiast są przypadki "pozytywne" (sukcesu w technice lub metycynie), których nie da się wytłumaczyć "dobrą passą" (jeśli laser wyemitował światło zgodnie z Zur Quantentheorie der Strahlung, a wykluczamy halucynację badacza, to albo laser naprawdę działa, albo wystąpił cud na miarę co najmniej Sokółki).

      Więc nie ma żadnej asymetrii

      Być może ją halucynuję. Ale czemu historycy i prawnicy tak podkreślają kłopotliwość dowodzenia negatywnego? Oni wszyscy też halucynują?

      Można się zastanawiać, czy poza matematyką cokolwiek da się na 100% wykluczyć. W naukach empirycznych wszystko jest raczej kwestią stopnia pewności.

      W zasadzie zgoda. Tak.

      Usuń
    6. Twierdzę, że dla niektórych X konkluzywny dowód na "X nie występuje/nie zdarza się we wszechświecie" choć nie jest logicznie niemożliwy, jest tak praktycznie upierdliwy, że żądanie przeprowadzenia go jest irracjonalne lub złośliwe.

      No i to już jest truizm, wszyscy się z tym zgodzą. Dokładnie to samo można zresztą powiedzieć o dowodach na „x występuje...” Wydaje mi się, na początku twierdziłeś coś innego: że „nie da się udowodnić nieistnienia – jeśli nie wszystkich obiektów, to obiektów jakiejś klasy” (pomijam już to, że Dawkins, Rand i reszta nie robią takich zastrzeżeń). To jest teza, z którą walczę. Więc jeśli przez „niektóre x” nie rozumiesz żadnej konkretnej klasy obiektów, to nie mamy się o co spierać.

      To dlaczego np. w orzecznictwie sądowym dowody negatywne uważa się za wysoce kłopotliwe?

      O tym będzie w następnym odcinku.

      Usuń
  3. kwantowy kaleka20 lipca 2016 17:30

    W ogóle nie rozumiem czemu ta druga wersja miałaby być bardziej absurdalna. Wręcz wydają mi się one równoważne.

    Weźmy, że nie można dowodzić zdań o nieistnieniu. Weźmy teraz dowolne zdanie negatywne ¬p i załóżmy, że potrafimy pokazać, że ¬p. Niech zdanie to będzie prawdziwe w zbiorze sytuacji S (gdzie "sytuacja" to po prostu uściślenie zdania ze względu na okoliczności, miejsce, czas...). Oznaczmy s(p), gdzie s∈S jako "w sytuacji s prawdziwe jest p". Wtedy rzecz jasna prawdziwe musi być ¬(∃s) (s∈S ∧s(p)). Co jest twierdzeniem o nieistnieniu, a więc nie możemy go udowodnić, a więc sprzeczność z założeniem. Z drugiej strony jest jasne*, że "nieprawda, że istnieje X" to zdanie negatywne, a więc jeżeli nie można dowodzić zdań negatywnych, to nie można także dowodzić zdań o nieistnieniu.

    *intuicyjnie przynajmniej, bo ja tak naprawdę nie widzę dobrej metody takiego rozbicia zbioru zdań na pozytywne i negatywne, żeby nie istniały w podzbiorze negatywnym zdania równoważne jakimś zdaniom w podzbiorze pozytywnym.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. "załóżmy, że potrafimy pokazać, że ¬p"

      Czy w ogóle da się pokazać, że nie-p; pokazać w najdosłowniejszym sensie, żeby ktoś inny zobaczył owo nie-p?

      Usuń
    2. @kaleka

      Jasne, każde negatywne zdanie sa się sparafrazować tak, żeby zaczynało się od "Nie istnieje takie x, źe". Z wersją "chyba jeszcze bardziej absurdalną" chodziło mi tylko o to, że w przypadku "Nie można udowodnić zdania negatywnego" pułapka samoodniesienia jest od razu widoczna - a w przypadku "nie można udowodnić nieistnienia" nie.

      Usuń
  4. kwantowy kaleka20 lipca 2016 20:36

    "Czy w ogóle da się pokazać, że nie-p"
    Nie ma to kompletnie żadnego znaczenia dla tego, o czym piszę. Chodzi mi tylko i wyłącznie o równoważność tych dwóch twierdzeń z pierwszych akapitów wpisu.

    Co do dowodliwości twierdzeń negatywnych to w ogóle trudno mi się odnieść, bo nie całkiem rozumiem jakie twierdzenia są negatywne. Co więcej z prawa podwójnej negacji wynika raczej, że w tym naiwnym rozumieniu k a ż d e zdanie ma równoważny negatywny odpowiednik - z mojego punktu widzenia mówisz więc właśnie, że nie da się niczego dowieść. Niemniej część dowodów zdań "pozytywnych" wyklucza też pewne inne zdania "pozytywne", a więc musi dowodzić ich negacji, więc uważam że się da (chociaż nie wiem jaki jest "najdosłowniejszy sens" dowodzenia). Wydaje mi się też, że nauka sobie całkiem w porządku poradziła z dowiedzeniem na przykład tego, że nie istnieje eter.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. "Nie ma to kompletnie żadnego znaczenia dla tego, o czym piszę."

      Miało znaczenie dla mnie, więc zapytałem, ale o.k., uznajmy to za nieważne.

      "równoważność tych dwóch twierdzeń"

      Jeśli chodzi o (1) "nie można udowodnić nieistnienia" i (2) "nie można udowodnić twierdzenia negatywnego" to są one równoważne tylko wtedy, gdy wszystkie twierdzenia odnoszą się do istnienia (resp. nieistnienia) czegoś.

      "nie całkiem rozumiem jakie twierdzenia są negatywne"

      Przypuszczam, że pozytywne są twierdzenia "A znajduje się w punkcie XYZ", "A ma cechę C", "zachodzi relacja R między A i B". Negatywne są te same z dodaną negacją.

      "z prawa podwójnej negacji wynika raczej, że w tym naiwnym rozumieniu k a ż d e zdanie ma równoważny negatywny odpowiednik - z mojego punktu widzenia mówisz więc właśnie, że nie da się niczego dowieść"

      Po jaką właściwie cholerę ktoś miałby dowodzić empirycznie podwójnej negacji? (np. "nieprawda, że nieprawda, że Hitler miał wąsy").

      "z mojego punktu widzenia mówisz więc właśnie, że nie da się niczego dowieść"

      Serio powiedziałem coś takiego? Doprawdy czasem przerażam sam siebie.

      "nie wiem jaki jest "najdosłowniejszy sens" dowodzenia"

      Pisałem o najdosłowniejszym sensie POKAZANIA, nie o przenośni "pokazać = dowodzić czegokolwiek w jakikolwiek sposób". Można pośrednio dowodzić negacji (w praktyce tylko niektórych) ale nie można pokazać (zademonstrować) tego, co stwierdza zdanie przeczące.

      Usuń
  5. kwantowy kaleka20 lipca 2016 23:32

    "są one równoważne tylko wtedy, gdy wszystkie twierdzenia odnoszą się do istnienia"
    Ja właśnie postuluję, że nie tylko wtedy i starałem się wykazać to w mojej pierwszej wiadomości.

    "Po jaką właściwie cholerę ktoś miałby dowodzić empirycznie podwójnej negacji?"
    Nie "dowodzić podwójnej negacji", tylko jeżeli dowodzi zdania p, to automatycznie dowodzi zdania ¬¬p. A to oznacza, że dowodząc zdania pozytywnego dowodzi równocześnie zdania negatywnego. Nie wiem czemu się uparłeś tak na ten dowód empiryczny, podczas gdy we wpisie jest chyba wyraźnie mowa o uwiarygadnianiu twierdzenia w ogóle.

    "Pisałem o najdosłowniejszym sensie POKAZANIA"
    W takim razie źle się zrozumieliśmy - u mnie "pokazać" znaczyło właśnie "dowieść", wydawało mi się że to wynika z kontekstu.

    "Można pośrednio dowodzić negacji (w praktyce tylko niektórych) ale nie można pokazać (zademonstrować) tego, co stwierdza zdanie przeczące."
    Nie całkiem rozumiem. Dowodzić zdania nie znaczy "zademonstrować to, co stwierdza zdanie" (nie wiem co by to miało znaczyć właściwie, że zdanie istnieje w rzeczywistości?), tylko "pokazać, że zdanie jest prawdziwe". Nie bardzo też wiem jak chcesz wykazać, że nie da się dowodzić niektórych zdan negatywnych. A jeżeli tego też nie można wykazać, to dlaczego należy przyjąć to jako prawdę.

    Problem jest tez taki, że prawdopodobnie większość zdan "negatywnych" można przeformułować do logicznie równoważnych im zdań "pozytywnych" (i w drugą stronę). Wtedy stają się w magiczny sposób dowodliwe?

    OdpowiedzUsuń
  6. "Ja właśnie postuluję, że nie tylko wtedy i starałem się wykazać to w mojej pierwszej wiadomości."

    Jak zwykle mam kłopoty ze strawieniem notacji formalnej. Ale coś w tym wywodzie musi być nie tak ze słowem "istnieć". Jakaś ekwiwokacja, czy coś. Nie wiem, nie znam się, głupi jestem.

    "jeżeli dowodzi zdania p, to automatycznie dowodzi zdania ¬¬p. A to oznacza, że dowodząc zdania pozytywnego dowodzi równocześnie zdania negatywnego"

    Aha. Czyli dowiedzenie zdania zarazem dowodzi jego tautologii. Co mi sugeruje, że gdy p jest twierdzeniem "pozytywnym", ¬¬p też nim jest, choć zawiera negację przyzdaniową (a nawet dwie).

    "Nie wiem czemu się uparłeś tak na ten dowód empiryczny, podczas gdy we wpisie jest chyba wyraźnie mowa o uwiarygadnianiu twierdzenia w ogóle."

    Bo oimw nie ma uniwersalnego sposobu "uwiarygadniania twierdzeń w ogóle", a kwestia istnienia wydaje się mieć coś wspólnego z empirią.

    "W takim razie źle się zrozumieliśmy - u mnie znaczyło właśnie , wydawało mi się że to wynika z kontekstu."

    Ależ wynikało i to akurat zrozumiałem. Tylko że niekiedy dowód sprowadza się do pokazania czegoś w sensie dosłownym, nie w przenośni.

    "Dowodzić zdania nie znaczy "

    Jak mam dowieść zdania "w plecach nieboszczki ciotki znajduje się nóż marki Gerlach" nie okazując trupa z nożem w plecach?

    "(nie wiem co by to miało znaczyć właściwie, że zdanie istnieje w rzeczywistości?)"

    Nie napisałem, że zdania istnieje w rzeczywistości, niemniej do dziś sądziłem, że niektóre zdania do niej się odnoszą; niekiedy tylko pośrednio.

    "tylko "

    Pokazać za pomocą czystych operacji logicznych? Jak w dowodzie Anzelma z Canterbury?

    "Nie bardzo też wiem jak chcesz wykazać, że nie da się dowodzić niektórych zdan negatywnych. A jeżeli tego też nie można wykazać, to dlaczego należy przyjąć to jako prawdę."

    Niczego nie zamierzam wykazać, jestem na to zbyt ograniczony umysłowo. Weźmy jednak (za Carnapem chyba) przykładową hipotezę "istnieją we wszechświecie obiekty ze szczerego złota o masie przekraczającej 3*10^6 ton". Mogę sobie wyobrazić, jak tę hipotezę potwierdzić. Ale jak ją obalić inaczej, niż robiąc generalny inwentarz całego wszechświata, tego nie wiem i chętnie się dowiem od kogoś bystrzejszego.

    "prawdopodobnie większość zdan można przeformułować do logicznie równoważnych im zdań (i w drugą stronę)"

    Chyba, że język przedmiotowy, odnoszący się do rzeczywistości, składa się tylko ze zdań "pozytywnych", a zdania "negatywne" należą do metajęzyka. Ale co ja tam wiem.

    OdpowiedzUsuń
  7. kwantowy kaleka21 lipca 2016 18:23

    "Co mi sugeruje, że gdy p jest twierdzeniem "pozytywnym", ¬¬p też nim jest, choć zawiera negację przyzdaniową (a nawet dwie)."
    No i właśnie w tym rzecz, że cały podział na zdania pozytywne i negatywne wydaje mi się niejasny.

    Nie chodziło mi o uniwersalny sposób udowadniania twierdzeń, tylko o branie pod uwagę wszystkich możliwych sposobów ich dowodzenia, nie tylko empirycznych. Sam chyba tam gdzieś wyżej zresztą pisałeś, że można dowodzić nieistnienia na podstawie logicznej niemożliwości, a potem czynisz zarzut z tego, że nie da się "negacji" pokazać bezpośrednio empirycznie.

    "Nie napisałem, że zdania istnieje w rzeczywistości, niemniej do dziś sądziłem, że niektóre zdania do niej się odnoszą; niekiedy tylko pośrednio."
    Nie mówię, że tak napisałeś; po prostu nie rozumiem o co Ci chodzi i próbuję zgadnąć. Dla mnie zawsze dowodzenie twierdzenia oznaczało po prostu pokazanie, że jest prawdziwe. Nie rozumiem więc podziału na "pokazanie co stwierdza zdanie" i "dowiedzenie zdania".

    "Pokazać za pomocą czystych operacji logicznych?"
    Niekoniecznie, pokazać w dowolny sposób. Nie chodzi mi o to, żeby wykluczać empiryczne dowody, tylko o to, że Ty zdajesz się (być może źle to odbieram) wykluczać te nieempiryczne.

    "Ale jak ją obalić inaczej, niż robiąc generalny inwentarz całego wszechświata, tego nie wiem"
    Nie mam pojęcia, ale to jest znowu takie samo ad ignorantiam jak w wykpiwaniu się od dowodzenia nieistnienia Boga. Z tego, że Ty/ja/ktokolwiek na świecie nie potrafi wskazać sposobu obalenia czegoś, w ogóle nie wynika że takiego sposobu nie ma, ani tym bardziej że to twierdzenie jest prawdziwe/nieprawdziwe.

    "Chyba, że język przedmiotowy, odnoszący się do rzeczywistości, składa się tylko ze zdań "pozytywnych", a zdania "negatywne" należą do metajęzyka."
    W ogóle nie rozumiem co to ma do tematu, ani nawet skąd wziąłeś tu jakiś metajęzyk. Mi chodziło o to, że mając np zdanie "nie istnieje Bóg" i rozumiejąc "Boga" jako jakiś absolut, który jest bytem koniecznym dla istnienia każdego możliwego świata, możemy sformułować równoważne mu zdanie "może istnieć świat bez Boga", które jest już (chyba) twierdzeniem pozytywnym. Podobnie zdanie z Twojej pierwszej wiadomości - "w tym domu nie ma teraz trupa ciotki Hermenegildy" - ma równoważne sobie zdanie pozytywne "ciotka Hermenegilda żyje lub trup ciotki Hermenegildy jest teraz poza domem". Negacja twierdzenia z ostatniego przykładu też ma pozytywny odpowiednik: "Wszystkie obiekty we wszechświecie, które są ze szczerego złota mają masę równą lub mniejszą niż 3*10^6 ton".

    Co więcej w ogólności negację można zastąpić implikacją: ¬p ≡ p⇒F (gdzie F to zdanie zawsze fałszywe). Zamiast "nie istnieje Bóg" możemy więc powiedzieć "jeżeli istnieje Bóg to istnieje największa liczba naturalna" i uzyskamy równoważne twierdzenie pozytywne. Można też skorzystać z alternatywy wykluczającej i tego, że: ¬p ≡ p⊕T (gdzie T to zdanie zawsze prawdziwe) i powiedzieć "istnieje Bóg albo istnieje najmniejsza liczba naturalna" co też jest twierdzeniem pozytywnym. Rzecz jasna o ile nie okaże się zaraz, że tak samo jak mogą istnieć zdania pozytywne z negacją, tak i mogą istnieć zdania negatywne bez negacji.

    Jeżeli gdzieś tu jest jakiś metajęzyk i ma to jakiś wpływ na cokolwiek, to chyba rozumiem to pojęcie jakoś inaczej.

    Zresztą to w ogóle wszystko jedno, załóżmy nawet że w istocie twierdzenia negatywne są niedowodliwe. Jak z tego miałoby w ogóle wynikać, że powinniśmy je uważać za prawdziwe, dopóki ktoś nie udowodni przeczącego im twierdzenia pozytywnego (bo chyba w ten sposób ludzie używający takiego argumentu rozumieją ciężar dowodu)? W jaki sposób w ogóle niedowodliwość wspiera jakiekolwiek stanowisko? I co jeżeli twierdzenie pozytywne również jest niedowodliwe?

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. No i właśnie w tym rzecz, że cały podział na zdania pozytywne i negatywne wydaje mi się niejasny.

      Mnie, szczerze mówiąc, teraz już też. Ale zdaje mi się, że "twierdzenie negatywne" nie oznacza po prostu "zawierające negację przyzdaniową". Ten podział ma chyba coś wspólnego z ontologią.

      Nie chodziło mi o uniwersalny sposób udowadniania twierdzeń, tylko o branie pod uwagę wszystkich możliwych sposobów ich dowodzenia, nie tylko empirycznych. Sam chyba tam gdzieś wyżej zresztą pisałeś, że można dowodzić nieistnienia na podstawie logicznej niemożliwości, a potem czynisz zarzut z tego, że nie da się "negacji" pokazać bezpośrednio empirycznie.

      Nie, nie czynię zarzutów, tylko się zastanawiam, może głupio.
      Mogę w ciemno przyjąć, że w świecie nie zdarzają się sytuacje, gdy ktoś zamyka zamknięte drzwi, bo to wynika z semantyki. Tak samo mogę przyjąć, że w świecie nie zdarzają się układy naruszające zakaz Pauliego, bo to wynika z praw przyrody. Ale istnienie w świecie 3000000+tonowych złotych obiektów (albo np. istnienie w księgozbiorze X co najmniej jednego egzemplarza książki Y) nie jest niemożliwe (ani też konieczne), więc co mogę robić poza przeszukiwaniem kolejnych półek?

      Nie mówię, że tak napisałeś; po prostu nie rozumiem o co Ci chodzi i próbuję zgadnąć. Dla mnie zawsze dowodzenie twierdzenia oznaczało po prostu pokazanie, że jest prawdziwe. Nie rozumiem więc podziału na "pokazanie co stwierdza zdanie" i "dowiedzenie zdania".

      Jestem człowiek prosty i zakładam, że prawdziwość twierdzeń odnoszących się do świata rzeczywistego musi być w ostatecznym rachunku ustalana przez zestawienie ich z rzeczywistością, a nie tylko z innymi zdaniami (protokolarnymi?).
      Dla wielu zdań "pozytywnych" (tj. zdań o tym, co jest) takie zestawienie wydaje mi się całkiem bezpośrednie: mogę dowieść, że w pokoju stoi szafa stojąc w tym pokoju i najdosłowniej pokazując szafę palcem. Co prawda nie zawsze da się to zrobić (nie mogę pokazać palcem cząstki elementarnej, a najwyżej jej ślad w komorze pęcherzykowej czy czego tam się teraz używa), ale jednak czasem da się. Natomiast twierdzeń negatywnych nigdy nie mogę dowodzić bezpośrednio (nie mogę pokazać braku szafy, bo takiego obiektu nie ma).

      zdajesz się (być może źle to odbieram) wykluczać te nieempiryczne

      Słowo daję, że nie wykluczam.

      Z tego, że Ty/ja/ktokolwiek na świecie nie potrafi wskazać sposobu obalenia czegoś, w ogóle nie wynika że takiego sposobu nie ma, ani tym bardziej że to twierdzenie jest prawdziwe/nieprawdziwe.

      Ależ ja znam ten sposób: jeśli naprawdę chcę wiedzieć, czy książka Y jest w księgozbiorze, to przeszukuję katalog (jeśli jest) albo półki. Tylko istnieją księgozbiory, na których przejrzenie w całości mogę nie mieć czasu. Ograniczenie to jest praktyczne (a nie logiczne), niemniej ono mnie wiąże póki nie znam innego sposobu, aby odpowiedzieć na pytanie "czy książka Y jest w księgozbiorze X".

      W ogóle nie rozumiem co to ma do tematu

      Ma tyle, że jeśli zdania z negacją należą do metajęzyka, to one nie stwierdzają nic o rzeczywistości, tylko o prawdziwości/fałszywości zdań języka przedmiotowego. Mogą się przydać w opisywaniu rzeczywistości przy dodatkowych założeniach

      Usuń
    2. C.d.

      ani nawet skąd wziąłeś tu jakiś metajęzyk.

      Z zapomnianego autora, nazywał się Eugeniusz Grodziński, ale to nieważne.

      Mi chodziło o to, że mając np zdanie "nie istnieje Bóg" i rozumiejąc "Boga" jako jakiś absolut, który jest bytem koniecznym dla istnienia każdego możliwego świata, możemy sformułować równoważne mu zdanie "może istnieć świat bez Boga", które jest już (chyba) twierdzeniem pozytywnym.

      "Nie istnieje takie X, które jest konieczne dla każdego możliwego świata" jes równoważne z "jest możliwy świat, w którym nie występuje X" bo to (chyba) tautologia. No i wystarczy dowieść możliwości (choćby niezrealizowanej) jednego jedynego bezboskiego świata, aby dowieść nieistnienia "boga koniecznego" (dowód ten jednak nie tknie kwestii istnienia "boga w ogólności", choćby mającego wszystkie pozostałe cechy postulowane przez teologów – poza koniecznością).
      Nie mam też pojęcia jak się dowodzi pozytywnych właściwości "światów możliwych" innych od tego, który istnieje. Czy jest np. możliwy świat w którym istnieją obiekty masywne lecz bezgrawitacyjny?

      Podobnie zdanie z Twojej pierwszej wiadomości - "w tym domu nie ma teraz trupa ciotki Hermenegildy" - ma równoważne sobie zdanie pozytywne "ciotka Hermenegilda żyje lub trup ciotki Hermenegildy jest teraz poza domem"

      Tak, ale zazwyczaj wygodniej jest przeliczyć wszystkie obiekty w domu i sprawdzić, czy jeden z nich nie jest przypadkiem trupem ciotki, niż przeliczyć w tym samym celu wszystkie obiekty poza domem, być może licząc po cichu, że gdzieś tam znajdziemy ciotkę żywą.
      No i tym razem równoważność wymagałaby wyliczenia i sprawdzenia wszystkich alternatyw "pozytywnych" (trup ciotki uległ kremacji albo zjadła go hiena, ciotka była halucynowana, nie wiem co jeszcze).
      W dodatku ta równoważność wymaga mnóstwa dodatkowych założeń pozalogicznych (jedna ciotka może mieć tylko jednego trupa, znajdującego się w jednym tylko miejscu).

      .Negacja twierdzenia z ostatniego przykładu też ma pozytywny odpowiednik: "Wszystkie obiekty we wszechświecie, które są ze szczerego złota mają masę równą lub mniejszą niż 3*10^6 ton".

      Ależ tak. I w takim razie umiem tylko ważyć po kolei wszystkie obiekty "szczerozłote" (przyjmijmy, że idzie o złoto co najmniej cz.d.a.) albo robić po kolei analizę składu wszystkich obiektów 3000000+tonowych.

      Co więcej w ogólności negację można zastąpić implikacją: ¬p ≡ p⇒F (gdzie F to zdanie zawsze fałszywe). Zamiast "nie istnieje Bóg" możemy więc powiedzieć "jeżeli istnieje Bóg to istnieje największa liczba naturalna" i uzyskamy równoważne twierdzenie pozytywne.

      Jeśli użyjesz implikacji materialnej, a nie formalnej (okresu warunkowego), to zgoda. Ale ludzie zwykle zadają pytania o rzeczywistość, nie o relacje między zdaniami. Gdy ktoś chce wiedzieć, czy jego ciotka żyje, to udzielanie mu prawdziwej odpowiedzi "twoja ciotka żyje lub iloczyn dwu liczb parzystych jest liczbą parzystą" jest jakoś niewłaściwe.

      Można też skorzystać z alternatywy wykluczającej i tego, że: ¬p ≡ p⊕T (gdzie T to zdanie zawsze prawdziwe) i powiedzieć "istnieje Bóg albo istnieje najmniejsza liczba naturalna" co też jest twierdzeniem pozytywnym.

      Przyjmijmy, że jest twierdzeniem pozytywnym. I jest to twierdzenie pozytywne o czym?

      Rzecz jasna o ile nie okaże się zaraz, że tak samo jak mogą istnieć zdania pozytywne z negacją, tak i mogą istnieć zdania negatywne bez negacji.

      Tu przestałem nadążać.

      Usuń
    3. C.d.

      Jeżeli gdzieś tu jest jakiś metajęzyk i ma to jakiś wpływ na cokolwiek, to chyba rozumiem to pojęcie jakoś inaczej.

      To co napisałem o języku przedmiotowym i metajęzyku, jeśli ma w ogóle sens (ja i tego też nie wiem), to tylko w opisie świata realnego. Świat składa się tylko z tego co "jest na tak" (kamieni, szaf i ciotek) i w zasadzie da się go opisać bez użycia negacji. Negacji używa się dla wygody, dla szybkości opisu, z braku kompletnej informacji (nie wiem gdzie jest ciotka, ale w tym pokoju jej nie ma).

      Zresztą to w ogóle wszystko jedno, załóżmy nawet że w istocie twierdzenia negatywne są niedowodliwe.

      Nie są niedowodliwe, ale ich dowody są upierdliwe, bo wymagają (na oko) indukcji zupełnej. Przynajmniej dopóki chodzi o dowód, że czegoś konkretnego nie ma/nie było albo że coś się nie zdarzyło. I łatwiej jest dowieść, że pewne prawo przyrody obowiązuje (lub że nie obowiązuje), niż przekonująco wykluczyć jednostkowy stan faktyczny. Widać to w historiografii (problem wnioskowania z milczenia źródeł) albo w sądach.

      Jak z tego miałoby w ogóle wynikać, że powinniśmy je uważać za prawdziwe, dopóki ktoś nie udowodni przeczącego im twierdzenia pozytywnego (bo chyba w ten sposób ludzie używający takiego argumentu rozumieją ciężar dowodu)? W jaki sposób w ogóle niedowodliwość wspiera jakiekolwiek stanowisko?

      W zasadzie: zawiesić sąd lub formułować go ostrożnie.
      Jeszcze ostrożniej wyciągać konsekwencje praktyczne, jeśli takie są.

      I co jeżeli twierdzenie pozytywne również jest niedowodliwe?

      Można liczyć, że stanie się dowodliwe, kiedy nam się poprawi zdolność rozdzielcza albo obliczeniowa, albo że zamiast nieosiągalnego rozwiązania ścisłego uzyskamy kiedyś przybliżone.

      Usuń
    4. Gammon, szacun za krzyżowanie rapierów. Ale to, trochę, tak pointless?

      Usuń
    5. to, trochę, tak pointless

      Pointless w sensie pozbawione celu? Akademickie? Sądzę, że dowodzenie negatywne to kwestia bardzo ważne praktycznie, choćby dla historyka. Mnie się zdaje, że ile by się historycy nie zaklinali, że zajmują się "tym, co było", w rzeczywistości zajmują się także "tym, czego nie było, ale mogłoby być".

      Usuń
  8. To jak się nazywa ten nieistniejący piłkarz Cracowi, z norweskim obywatelstwem? ;)

    OdpowiedzUsuń